Toni e semitoni: quei mattoncini che non entrano mai nei fori giusti

La musica appare come un’arte basata su precisione e rigore. Chiunque abbia studiato solfeggio lo sa bene e si ricorderà l’enfasi posta su toni e semitoni. Guai a parlare di Mi# o Fa♭ Ma le cose stanno davvero in questi termini? Sfortunatamente no, e in questo breve articolo metterò in evidenza i problemi che non soltanto esistono, ma che addirittura non hanno soluzione!

Gruppo di studenti che praticano il solfeggio, prestando attenzione a toni e semitoni

E’ giusto dire che Si# è diverso da Do?

Premetto che alcune affermazioni potrebbero essere opinabili e io non ho di certo l’intenzione di proclamare dogmi, pertanto, chi non è d’accordo, può (e deve) mantenere la sua posizione senza alcun problema. Fatta questa doverosa premessa, posso entrare nel vivo della questione fornendo due argomenti che dovrebbero aiutare a capire come stanno davvero le cose.

I nomi delle note sono convenzionali

Checchè se ne voglia dire, i nomi delle note sono davvero convenzionali e, tanto per calcare un pò la mano, anche le frequenze lo sono. Nel 1939 si è stabilito, ad esempio, di adottarare come standard universale il La a 440 Hz, ma prima di quella data, la musica proliferava in una giungla di diapason a frequenze sparse tra circa i 415 Hz e i 435 Hz.

Per quanto riguarda i nomi, si è stabilito che il segno di diesis (#) avesse il compito di “spostare in avanti” una nota di un gradino chiamato appunto semitono (il bemolle aveva il compito opposto). Ovviamente qualcuno potrebbe chiedere: ma cosa sono toni e semitoni? La riposta a questa domanda viene trattata nel prossimo paragrafo. Per adesso, assumiamo che il semitono sia l’altezza di un gradino e che le note siano posizionate lungo una scala di 12 gradini che parte dal Do e termina al Do successivo.

Perchè i gradini siano proprio 12 è una conseguenza della scelta iniziale, fatta di Pitagora, di avere 7 note in quella si chiama propriamente scala diatonica. Anche in questo caso, nel prossimo paragrafo, tutto sarà più chiaro. Per adesso è sufficiente dare per scontato che si sia deciso di chiamare le note in un certo modo (differente da regione a regione) e che la struttura della scala diatonica sia fatta da una sequenza: tono – tono – semitono – tono – tono – tono – semitono.

Per cui, ad esempio, il Do e il Re si trovano a distanza di due gradini e il gradino intermedio deve necessariamente chiamarsi Do# o Re♭. Al contrario Mi e Fa sono a distanza di un gradino, per cui Mi# = Fa e Fa♭ = Mi. Analogamente con Si# e Do. Se decidessimo di stravolgere la realtà cambiando nomi e intervalli, non sorgerebbe alcun problema. Avremmo solo una struttura dove magari, Si e Do distano 3 semitoni e Do e Re solo un semitono. Se vi state chiedendo se sono diventato matto, vi posso assicurare di no e continuando la lettura potrete rendervi conto più chiaramente delle mie argomentazioni.

Toni e semitoni: quanto solo alti questi gradini?

Se non aveva familiarità con il temperamento equabile, vi invito a leggere l’articolo che ho scritto al riguardo. Ciò che comunque conta in questa sede è sapere che Pitagora costruì la scala diatonica basandosi sul rapporto razionale 3/2 (che corrisponde alla quinta pitagorica) e giunse a una struttura dove il tono era ampio 9/8 = 1.125 e il semitono 256/243 = 1.0535.

Come spiegato nell’articolo, ciò ebbe conseguenze alquanto disastrose poichè era impossibile ottenere un’ottava (ed. ricordo che se la frequenza base è f, le ottave superiori avranno frequenze pari a 2f, 4f, 8f, 16f, etc.) attraverso, ad esempio la sovrapposizione di quinte. Per cui, dopo aver dato nomi generici alle 7 note, ciò che era possibile era muoversi di quinta in quinta e giungere a un’ottava (e.g., da Do – Sol – Re – La – Mi – Si – Fa – Do), ma numericamente il valore finale non coincideva con una potenza di 2 della frequenza base.

Anche se questo esempio è presente nell’articolo citato, lo ripeto qui con una frequenza del primo Do = 1 Hz. L’ultimo Do si troverà 4 ottave più in alto e avrà una frequenza di 16 Hz. Siccome ci siamo spostati con 7 quinte, l’ampiezza è uguale a (3/2)7 ≈ 17.086 Hz. E’ ovvio che questo sistema presenta un evidente problema, le cui conseguenze furono nefaste per l’accordatura degli strumenti.

Ma facciamo un altro breve esperimento. Partendo sempre da Do = 1 Hz, con 5 quinte, otteniamo un Si con una frequenza circa uguale a 7.59 Hz. Dato che il semitono pitagorico è pari a 1.0535, la nota successiva al Si e più alta di un semitono ha una frequenza di circa 7.59 × 1.0535 = 8.00002 Hz. C’è un piccolo errore, ma sembra che Si# sia uguale “più o meno” a Do.

Adesso partiamo dal Do a 16 Hz e riduciamolo di un semitono, 16 / 1.0535 = 15.18747. Abbassiamo di un’ottava, 15.18747 / 2 = 7.59374. Continuiamo sino alla prima ottava e otteniamo Si = 1.89844 Hz. E’ facile vedere che alzandolo di un semitono pitagorico si ottiene il Do successivo con un errore molto piccolo. Ma noi sappiamo che, partendo da Do = 1 Hz, il Sol è pari a 1.5 Hz e l’intervallo Sol – Si corrisponde alla moderna terza maggiore che Pitagora identificò con l’intervallo di 5/4 = 1.25.

Quindi, se partiamo da Sol e applichiamo tale intervallo otteniamo un Si = 1.875 Hz che è molto diverso dal valore trovato in precedenza! Alzando questo Si di un semitono pitagorico, otteniamo 1.875 × 1.0535 = 1.97531, che non è affatto uguale a 2! Dunque adesso, Si# è diverso da Do. Sembra un paradosso: perchè le cose non funzionano perfettamente così come la matematica ci spinge a pensare? La ragione è semplicissima e può essere spiegata con due argomenti.

Pitagora e il suo amore per i numeri interi

Il primo motivo di questa discrepanza è la scelta di lavorare con proporzioni basate su rapporti tra numeri interi, ovvero con numeri razionali. Pitagora amava i rapporti regolari perchè associava la musica all’armonia delle sfere che, secondo il suo pensiero, non poteva essere basata su numeri irrazionali (i.e., con infinite cifre decimali).

Per la sua scala diatonica, egli si limitò ad ascoltare le consonanze tra due monocordi, di cui il primo suonava la nota fondamentale e il secondo era accorciato progressivamente, ma sempre secondo rapporti del tipo 2/3, 3/4, 4/5, etc. Egli osservò che la consonanza corrispondente a frequenze in rapporto 1 : 3/2 (e.g., Do – Sol) era estramamente gradevole e, dopo varie analisi scelse proprio tale rapporto per fondare la scala.

Nel compiere questa scelta, “condannò” gli altri rapporti a non poter più essere presenti in modo preciso. Nell’esempio precedente, abbiamo usato un rapporto di 5/4 e ciò ha portato a un disastro. Ciò non deve stupire affatto: Pitagora aveva eletto solo 3/2 a rapporto fondante, eliminando di fatto tutti gli altri rapporti e rendendo quasi impossibile il loro utilizzo attraverso movimenti di toni e semitoni.

Chi ha stabilito che la quinta giusta deve avere un rapporto di 3/2?

Questa è la domanda chiave a cui si dovrebbe tentare di rispondere? A mio parere, l’unica possible e ragionevole risposta è: Pitagora e la sua “smania” per i numeri interi. Nel temperamento equabile, l’ottava è divisa in 12 semitoni di eguale ampiezza pari alla radice dodicesima di 2, ovvero a circa 1.05946. Questo numero è irrazionale e quindi invisto a Pitagora, ma, nel contempo, è di fatto la soluzione a tutti i problemi.

Tanto per chiarire il contesto, supponiamo di lavorare con il Do centrale del pianoforte, a una frequenza di 261.6 Hz. Secondo il sistema pitagorico il Sol successivo dovrebbe avere una frequenza di 261.6 × (3/2) = 392.4 Hz. Ammettiamo che egli, dotato di un orecchio sopraffino, abbia constatato un’eccellente consonanza, ma cosa succede con il temperamento equabile? In questo caso, il Sol è distante 7 semitoni dal Do, pertanto, la frequenza risultante è di circa 391.95713 Hz! La discrepanza è di circa 0.5 Hz e dubito fortemente che perfino Mozart sotto effetto di nootropi e psichedelici possa essere in grado di notare la differenza!

Ecco qual è il nocciolo della questione. Usando il temperamento equabile Si# è sempre uguale a Do e, come spiegato nell’articolo sopra citato, l’accordatura e il temperamento degl strumenti diventa estramente semplice. Perfino l’immenso Bach volle “lodare” questo metodo con la composizione del “Clavicembalo Ben Temperato”. Dunque perchè continuare a pensare che debba avere per forza ragione Pitagora e che i rapporti devono essere rigorosamente razionali?

Ciò non ha alcun senso logico ed è basato solo su un criterio estetico discutibile, tenuto conto anche del fatto che i pitagorici consideravano la musica solo da un punto di vista teorico e disprezzavano coloro che si dilettavano componendo piccoli brani.

E infine la tanto agognata risposta alla domanda iniziale

La risposta è No! O, per essere esatti, è negativa precisando che si desidera adottare il molto più comodo e razionale temperamento equabile. Se qualcuno dovesse pensare che Pitagora è una sorta di semidio, per cui il suo verbo è indiscutibile, bene, costui è libero di accordare i propri strumenti usando la scala pitagorica, ma ciò non lo autorizza in alcun modo a pensare che le conseguenze di tale scelta debbano diventare legge universale.

Per ulteriori approfondimenti della relazione tra musica e matematica

Sale
La musica dai numeri. Musica e matematica da Pitagora a Schoenberg
  • Quello tra musica e matematica è da sempre un dialogo fitto e profondo
  • Secondo molti studiosi le composizioni di Bach sono governate da una logica matematica, e Stravinskij ha ravvisato un'affascinante prossimità tra le due discipline
  • Stockhausen è andato oltre, scrivendo musica esplicitamente basata su principi matematici
  • Ma non è tutto, sostiene Eli Maor, perché tra note e numeri le influenze sono reciproche e il loro rapporto, per questo, ancora più stimolante
  • Pitagora e il legame tra musica e geometria, la curiosa simultaneità tra la teoria della relatività di Einstein e la musica dodecafonica di Schoenberg, la tanto dibattuta teoria delle stringhe, che si mettono a vibrare come le corde di un violino; sono tutti tasselli di uno straordinario racconto che vede protagonisti compositori, scienziati, inventori e semplici stravaganti


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