Modello di neurone spike Hodgkin-Huxley in Python

Il modello Hodgkin-Huxley (pubblicato nel 1952 su The Journal of Physiology [1]) è il più famoso modello di neuroni spike (anche se esistono alternative più semplici, come il modello “Integrate-and-fire”, che funziona abbastanza bene).

È costituito da un sistema di quattro equazioni differenziali ordinarie che possono essere facilmente integrate utilizzando diversi strumenti. L’idea principale si basa su una rappresentazione elettrica del neurone, considerando solo i canali ionici voltaggio-gettati del Potassio (K) e del Sodio (Na) (anche se possono essere estesi per includere altri canali). Una rappresentazione schematica è riportata nella figura seguente:

Gli elementi sono:

    • Cm: una capacità per unità di superficie che rappresenta lo strato lipidico della membrana (valore adottato: 1 µF/cm²).
    • gNa: conduttanza controllata dal voltaggio per unità di area associata al canale ionico del sodio (Na) (valore adottato: 120 µS/cm²)
    • gK: conduttanza controllata dal voltaggio per unità di superficie associata al canale ionico del potassio (K) (valore adottato: 36 µS/cm²)
    • gl: conduttanza per unità di superficie associata ai canali di perdita (valore adottato: 0,3 36 µS/cm²)
    • VNa: fonte di tensione che rappresenta il gradiente elettrochimico per gli ioni sodio (valore adottato: 115 mV).
    • VK: fonte di tensione che rappresenta il gradiente elettrochimico per gli ioni potassio (valore adottato: -12 mV).
    • Vl: sorgente di tensione che determina la densità di corrente di dispersione insieme a gl (valore adottato: 10,613 mV)

Nello schema, la corrente di stimolo esterna non è mostrata, tuttavia, ne ipotizziamo la presenza come densità di corrente (I) che codifica il segnale di ingresso. Tutti i valori sperimentali sono gli stessi proposti dagli autori in [1] e si riferiscono a un potenziale di equilibrio di 0 V. Il sistema è definito attraverso il seguente sistema ODE:

La prima equazione definisce la derivazione di Vm considerando lo stimolo esterno (I) e il contributo delle densità di corrente K, Na e di dispersione. Le variabili n, m e h sono associate alla probabilità di apertura di ciascun canale e dipendono strettamente dalla natura del canale. Per esempio, il canale K è voltaggio-gato e ha quattro subunità che devono essere tutte aperte per consentire il flusso di corrente, quindi la sua probabilità è n alla potenza di 4.

Il sodio ha un comportamento leggermente più complesso e necessita di due fattori diversi (m e h) con dinamiche autonome. Le ultime tre equazioni descrivono il modello cinetico del canale ionico, calcolando le derivate di n, m e h come funzioni delle stesse variabili e di due funzioni dipendenti dal voltaggio. Il primo termine è il numero di canali chiusi che si aprono, mentre il secondo termine è il numero di canali aperti che si chiudono.

Hodgkin e Huxley suggeriscono le seguenti funzioni:

Nella simulazione, utilizzeremo una densità di corrente a doppio impulso come stimolo (tuttavia, qualsiasi altro segnale può essere utilizzato per testare diversi comportamenti). L’intervallo di tempo è [0, 50ms]:

Il comportamento del neurone impulsivo risultante è mostrato nel seguente grafico:

È anche possibile osservare i cicli limite presenti nel sistema dinamico. Nel grafico seguente, vengono tracciate le traiettorie Vm – n, e Vm – m:

È possibile osservare come le probabilità (proporzionali a n, m e h) di apertura dei canali ionici vadano da un valore minimo a un valore massimo in base a n e Vm in modo ciclico. Questo permette le oscillazioni: stato stazionario, aumento del potenziale, picco, diminuzione del potenziale, stato stazionario.

Il codice Python completo è disponibile in questo GIST:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

from scipy.integrate import odeint

# Set random seed (for reproducibility)
np.random.seed(1000)

# Start and end time (in milliseconds)
tmin = 0.0
tmax = 50.0

# Average potassium channel conductance per unit area (mS/cm^2)
gK = 36.0

# Average sodoum channel conductance per unit area (mS/cm^2)
gNa = 120.0

# Average leak channel conductance per unit area (mS/cm^2)
gL = 0.3

# Membrane capacitance per unit area (uF/cm^2)
Cm = 1.0

# Potassium potential (mV)
VK = -12.0

# Sodium potential (mV)
VNa = 115.0

# Leak potential (mV)
Vl = 10.613

# Time values
T = np.linspace(tmin, tmax, 10000)

# Potassium ion-channel rate functions

def alpha_n(Vm):
    return (0.01 * (10.0 - Vm)) / (np.exp(1.0 - (0.1 * Vm)) - 1.0)

def beta_n(Vm):
    return 0.125 * np.exp(-Vm / 80.0)

# Sodium ion-channel rate functions

def alpha_m(Vm):
    return (0.1 * (25.0 - Vm)) / (np.exp(2.5 - (0.1 * Vm)) - 1.0)

def beta_m(Vm):
    return 4.0 * np.exp(-Vm / 18.0)

def alpha_h(Vm):
    return 0.07 * np.exp(-Vm / 20.0)

def beta_h(Vm):
    return 1.0 / (np.exp(3.0 - (0.1 * Vm)) + 1.0)
  
# n, m, and h steady-state values

def n_inf(Vm=0.0):
    return alpha_n(Vm) / (alpha_n(Vm) + beta_n(Vm))

def m_inf(Vm=0.0):
    return alpha_m(Vm) / (alpha_m(Vm) + beta_m(Vm))

def h_inf(Vm=0.0):
    return alpha_h(Vm) / (alpha_h(Vm) + beta_h(Vm))
  
# Input stimulus
def Id(t):
    if 0.0 < t < 1.0:
        return 150.0
    elif 10.0 < t < 11.0:
        return 50.0
    return 0.0
  
# Compute derivatives
def compute_derivatives(y, t0):
    dy = np.zeros((4,))
    
    Vm = y[0]
    n = y[1]
    m = y[2]
    h = y[3]
    
    # dVm/dt
    GK = (gK / Cm) * np.power(n, 4.0)
    GNa = (gNa / Cm) * np.power(m, 3.0) * h
    GL = gL / Cm
    
    dy[0] = (Id(t0) / Cm) - (GK * (Vm - VK)) - (GNa * (Vm - VNa)) - (GL * (Vm - Vl))
    
    # dn/dt
    dy[1] = (alpha_n(Vm) * (1.0 - n)) - (beta_n(Vm) * n)
    
    # dm/dt
    dy[2] = (alpha_m(Vm) * (1.0 - m)) - (beta_m(Vm) * m)
    
    # dh/dt
    dy[3] = (alpha_h(Vm) * (1.0 - h)) - (beta_h(Vm) * h)
    
    return dy
  
# State (Vm, n, m, h)
Y = np.array([0.0, n_inf(), m_inf(), h_inf()])

# Solve ODE system
# Vy = (Vm[t0:tmax], n[t0:tmax], m[t0:tmax], h[t0:tmax])
Vy = odeint(compute_derivatives, Y, T)

Riferimenti

    1. Hodgkin, A. L., Huxley, A. F., (1952), A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. The Journal of Physiology, 117 doi: 10.1113/jphysiol.1952.sp004764

In particolare, per ulteriori dettagli sui sistemi biologicamente-ispirati, suggerisco il libro:


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